BILANGAN BULAT

BILANGAN BULAT

A.    Bilangan bulat terdiri dari :

1.    Bilangan bulat positif

Yaitu = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,…}

2.    Bilangan nol

Yaitu = {0}

3.    Bilangan  bulat negatif

Yaitu = { …, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 } atau {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7,…}

Jadi, bilangan bulat adalah suatu bilangan yang memuat bilangan bulat positif, nol , dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dilambangkan dengan , dimana  = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}.

B.     Sifat – sifat Bilangan Bulat

1.      Penjumlahan Bilangan Bulat

Operasi penjumlahan pada bilangan bulat mempunyai sifat – sifat, yaitu :

a.       Komutatif (pertukaran)

                    a + b = b + a

b.      Asosiatif ( pengelompokan)

                    (a + b) + c = a + (b + c )

c.       Unsur identitas pada penjumlahan

Identitas pada penjumlahan adalah angka nol (0), artinya, untuk sebarang bilangan bulat jika ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

                    a + 0 = a

d.      Tertutup

                    a + b = c

 dengan a, b, c  bilangan bulat

2.      Pengurangan Bilangan Bulat

Pada pengurangan bilangan bulat hanya mempunyai sifat tertutup saja.

a – b = c

dengan a, b, c  bilangan bulat

Untuk sembarang bilangan bulat a dan b selalu berlaku ketentuan sebagai berikut :

                                            a – b = a + (- b )

Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur berpasangan dimana tiap anggota dari pasangan itu disebut lawan atau invers jumlah dari anggota yang lain pada pasangan tersebut.

1.    Lawan (invers jumlah ) dari a adalah –a dan invers dari –a adalah a

2.    a + (-a ) = -a + a = 0

3.      Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang – ulang.

Jika n adalah sembarang bilangan bulat positif,maka :

                          n x a = a + a + a + …+ a

                                           sebanyak n

Dalam operasi perkalian, jika a dan b adalah bilangan bulat maka berlaku :

·      a x b = ( b x a )                        atau + x + = +

·      (-a) x b = -(a x b)                     atau – x + =  -

·      a x (-b) = - (a x b )                   atau + x  - =  -

·      (-a) x (-b) = (a x b )                  atau – x - = +

·      a x 0 = 0

Sifat – Sifat Perkalian Bilangan Bulat :

a.       Komutatif

                          a x b = b x a

b.      Asosiatif

                          (a x b ) x c = a x ( b x c )

c.       Identitas

Identitas pada perkalian adalah 1 karena setiap bilangan bulat jika dikalikan 1 maka hasilnya bilangan itu sendiri.

                          a x 1 = 1 x a = a

d.      Tertutup

                          a x b = c

dengan a, b, c  bilangan bulat

e.       Sifat Distribusi

1.      Distributif perkalian terhadap penjumlahan

                    a x ( b + c ) = ( a x b ) + (a x c )

2.      Distributif perkalian terhadap pengurangan

                    a x (b – c ) = (a x b) – (a x c)

4.      Pembagian Bilangan Bulat

Operasi pembagian bilangan bulat merupakan kebalikan (invers) dari operasi perkalian.

                          Jika a : b = c, maka b x c = a

dengan a, b dan c bilangan bulat

Untuk setiap a, b , c bilangan bulat, b  0 dan memenuhi a : b = c, maka berlaku :

a)    Jika a, b bertanda sejenis, maka c adalah bilangan bulat positif.

b)   Jika a, b berbeda tanda, maka c adalah bilangan bulat negatif.

Sifat – sifat pembagian :

Pada pembagian bilangan bulat hanya mempunyai sifat tertutup saja.

a : b = c

dengan a, b, c  bilangan bulat

1)   Untuk setiap bilangan bulat a, maka berlaku a : 0 = tidak didefinisikan.

2)   Untuk setiap bilangan bulat a, maka berlaku 0 : a = 0

5.      Taksiran pada Bilangan Bulat

Taksiran adalah perkiraan pembulatan yang dapat digunakan sebagai gambaran dalam menentukan hasil perhitungan yang dilakukan untuk mempermudah proses perhitungan.

Hasil taksiran atau pembulatan diperoleh dengan cara :

1.      Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.

a)        Jika angka satuannya kurang dari 5, maka angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan.

b)        Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka tersebut dibulatkan keatas menjadi puluhan.

2.      Untuk pembulatan ke ratusan terdekat               

a)        Jika angka puluhannya kurang dari 5, maka angka puluhan dan satuan dihilangkan.

b)        Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka puluhan tersebut dibulatkan keatas menjadi ratusan.

6.      Pemangkatan Bilangan Bulat

Untuk sembarang bilangan bulat a dan bilangan bulat positif n berlaku :

aⁿ = a x a x a x a x…x a

                n faktor

Sifat – sifat Bilangan Berpangkat

1)        Sifat perkalian bilangan berpangkat

Jika a dan b bilangan positif, dan a bilangan bulat, maka :

a^m x aⁿ = a x a x a x…a x a x a x a x …a

m factor              n factor

Jadi,  a^m x aⁿ = a^m+n

2)        Sifat pembagian bilangan berpangkat

Jika a dan b bilangan bulat positif dan m > n, dengan a  0, a  bilangan bulat, maka :

                        a^m : aⁿ = a^m-n

3)        Sifat pemangkatan bilangan berpangkat

Jika a dan b bilangan bulat, a  bilangan bulat, maka :

                   (a^m)ⁿ = a^{m x n}

      

7.      Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat tiga dan Akar Pangkat Tiga

a.       Kuadrat dan Akar Kuadrat

Kuadrat suatu bilangan adalah perkalian berulang – ulang untuk suatu bilangan yang sama banyaknya 2 kali pengulangan.

                               a² = a x a

jika a = 3, maka 3² = 3 x 3 = 9 atau dapat ditulis  =  = 3.

  dibaca akar pangkat dua dari 9 atau akar kuadrat dari 9.

Secara umum dapat ditulis :

                           a²= b sama artinya dengan  = a

b.      Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga

Pangkat tiga suatu bilangan adalah perkalian berulang – ulang suatu bilangan yang sama banyaknya 3 kali pengulangan.

                         a³ = a x a x a

Operasi akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari operasi pangkat tiga

                          a³= b sama artinya dengan  = a