HIMPUNAN

HIMPUNAN

A.    Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.

1.      Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan dapat dilambangkan dengan huruf besar ( kapital ) A, B, C,…, Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis menggunakan pasangan kurung kurawal {….}

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan dinamakan anggota atau elemen dari himpunan . Anggota  atau elemen dari himpunan dinotasikan dengan ϵ. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan .

2.      Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara  sebagai berikut :

a.    Kata – kata, yaitu dengan cara menyebutkan semua syarat atau sifat keanggotaannya.

b.    Notasi pembentuk himpunan sama halnya menyatakan himpunan dengan kata – kata dimana semua syarat atau sifat keanggotaannya disebutkan. Adapun anggota himpunan yang dinyatakan dengan suatu peubah. Misalnya x dan y.

c.    Mendaftar anggota – anggotanya, dapat dilakukan dengan cara menyebutkan anggota – anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal dan anggota – anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

3.      Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Adapun himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

B.     Himpunan Kosong dan Semesta

Himpunan dapat dibedakan menjadi dua :

1.      Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan {} atau ø

2.      Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta ( semesta pembicaraan ) biasanya dilambangkan dengan S.

C.     Himpunan Bagian

Diketahui, himpunan – himpunan A={a, b, c}, B={4, 5, 6 }dan C={a, b, c, d, 4, 6}. Berdasarkan ketiga himpunan tersebut, tampak bahwa setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan C. Hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, ditulis A⊂C atau C⊃A. Jadi, himpunan A merupakan himpunan bagian C, jika setiap anggota A juga merupakan anggota C dan dinotasikan A⊂C  atau C⊃A

Perhatikan himpunan B= {4, 5, 6}dan C={a, b, c, d, 4, 6}, maka terlihat bahwa tidak setiap bahwa anggota B menjadi anggota C, karena 5  C. Oleh karena itu, B dikatakan bukan merupakan himpunan bagian dari C, sehingga ditulis . (  dibaca : B bukan merupakan himpunan bagian dari C).

D.    Operasi Himpunan

1.      Irisan Dua Himpunan

Irisan dua himpunan dapat dilakukan dengan cara mencari anggota persekutuan dari dua buah himpunan. Anggota persekutuan tersebut dinamakan dengan irisan dua himpunan. Irisan dinotasikan dengan ∩ (dibaca irisan atau interseksi).

a.       Irisan dua himpunan yang himpunan satu merupakan himpunan bagian

Jika, A⊂B maka A ∩ B=A

b.      Irisan dua himpunan yang sama

Jika A=B, maka A ∩ B=A atau A ∩ B= B

c.       Irisan dua himpunan yang tidak saling lepas

Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas atau berpotongan jika A dan B mempunyai sekutu. akan tetapi, ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.

2.      Gabungan Dua Himpunan

Jika A dan B adalah dua himpunan, maka gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota – anggotanya terdiri atas anggota – anggota A atau anggota – anggota B. Gabungan A dan B dinotasikan A∪Bdibaca A gabungan B atau A union B).

a.       Gabungan dua himpunan dimana himpunan satu merupakan himpunan bagian yang lain.

Jika A ⊂ B maka A∪B = B

b.      Gabungan himpunan yang sama

Jika A = B, maka A∪B = A atau A∪B = B

c.       Gabungan dua himpunan yang tidak saling lepas (berpotongan)

n(A∪B )= n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

3.      Selisih Dua Himpunan

Jika ada dua himpunan A dan B, maka selisih antara himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota semua anggota A tetapi bukan anggota B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan :

                                          A -  B

4.      Komplemen Suatu Himpunan

Jika ada himpunan A, komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota – anggotanya merupakan anggota himpunan semesta, tetapi bukan merupakan anggota himpunan A. Komplemen A dinotasikan :

                                          A^c atau A^l

5.      Sifat – Sifat Operasi Himpunan

a.       Sifat – sifat irisan dan gabungan himpunan :

1)      Sifat komutatif irisan       : A ∩ B = B ∩ A

2)      Sifat asosiatif irisan          : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3)      Sifat idempotent irisan     : A ∩ A = A

4)      Sifat identitas irisan         : A ∩ S = A

5)      Sifat komplemen irisan     : A ∩ A^c = ø

6)      Sifat distributif irisan terhadap gabungan : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

b.      Sifat –sifat selisih himpunan :

1)      Sifat identitas selisih        : A - ø  = A

2)      Sifat distributif selisih terhadap irisan     : A – (B ∩ C ) =  (A-B) ∪ (A- C )

3)      Sifat distributif selisih terhadap gabungan : A– ( B ∪ C) =  (A-B) ∪ (A- C )

E.  

                                                                                                                        

Referensi : Shola (Sahabat Sekolah ) Matematika, Drs. Rahmat Winarto, Harapan Makmur

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PTLSV)

A.    Pengertian Ketidaksamaan

Ketidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang dihubungkan dengan tanda >, <, ≤, atau ≥.

Untuk sembarang bilangan a dan b dengan a≠ b maka selalu berlaku salah satu hubungan:

a.       a < b (a “ kurang dari “ b )

b.      a > b (a “ lebih dari” b )

c.       a ≤  b (a “ kurang dari atau sama dengan “ b)

d.      a ≥ b ( a ” lebih dari atau sama dengan “ b )

B.     Pengertian Perstidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)

Pertidaksamaan linear satu variable ( PTLSV) adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda >, <, ≤, atau ≥ dengan satu variable dan variabelnya berpangkat satu.

C.     Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Penyelesaian persamaan linear satu variable dapat diperoleh dengan cara :

1.      Dengan Subtitusi

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 1 < 7, jika x variable pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian :

Ditentukan 2x – 1 < 7, maka :

Jika x diganti 0, maka : 2x – 1 < 7

                                    2 . 0 – 1 < 7

                                    ⇔  – 1 < 7                  ( benar )

x diganti 1, maka : 2x – 1 < 7

                            ⇔ 2 . 1 – 1 < 7

                            ⇔ 1 < 7                               ( benar )

x diganti 2, maka : 2x – 1 < 7

                            ⇔ 2 . 2 – 1 < 7

                            ⇔ 3 < 7                               ( benar )

x diganti 3, maka : 2x – 1 < 7

                            ⇔ 2 . 3 – 1 < 7

                            ⇔ 5 < 7                               ( benar )

x diganti 4, maka : 2x – 1 < 7

                            ⇔ 2 . 4 – 1 < 7

                            ⇔ 7 < 7                               ( salah )

x diganti 5, maka : 2x – 1 < 7

                            ⇔ 2 . 5 – 1 < 7

                            ⇔9 < 7                                ( salah )

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {0, 1, 2, 3}

2.      Menyelesaikan PTLSV yang setara dengan menambah atau mengurangi dengan bilangan yang sama.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x – 4 < 2x + 2, jika x variable pada himpunan bilangan asli.

Penyelesaian :

3x – 4 < 2x + 2

⇔        3x – 4 + 4 < 2x  + 2 + 4                       (kedua ruas ditambah 4 )

⇔        3x  < 2x + 6    

⇔        3x – 2x  < 2x – 2x + 6                          ( kedua ruas dikurangi 2x )

            ⇔        x  < 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3, 4, 5 }

3.      Menyelesaikan PTLSV yang setara dengan mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4x – 2 > 2x + 6, , jika x variable pada himpunan bilangan asli.

Penyelesaian :

4x – 2 > 2x + 6

⇔        4x – 2 + 2  > 2x + 6 + 2                       ( kedua ruas ditambah 2 )

⇔        4x  > 2x + 8

⇔        4x – 2x  > 2x – 2x + 8                          ( kedua ruas dikurangi 2x )

⇔        4x   > 8

⇔        ½. 4x >  8. ½                        ( kedua ruas dikalikan ½)

            ⇔        x >  4

            Jadi, himpunan penyelesain dari 4x – 2 > 2x + 6 adalah {5, 6, 7, 8, …}

Referensi :

Shola (Sahabat Sekolah ) Matematika, Drs. Rahmat Winarto, Harapan Makmur